1 前言
决策树是非常经典的机器学习模型，日常工作中许多分类和回归问题都可以用决策树解决，很多更高级、先进的机器学习模型也基于决策树构建，为了夯实基础、正确运用决策树，今天我们来回顾一些决策树里最重要的技术细节。
鸢尾花品种分类决策树示例
2 算法重要细节
2.1 如何做预测
示例中深度为2的决策树的展示了做决策的过程和结论，对于150个样本点，在根节点上，决策树以花瓣长度（petal length）是否小于2.45厘米将数据分成两部分，花瓣长度小于2.45厘米的样本被分类成setosa，大于2.45厘米的数据继续以花瓣宽度（petal width）是否小于1.75厘米进行分类，小于的部分被认为是versicolor，大于的部分则是virginica。
图中的samples即为这个大类中的样本数量，如深度为1的左侧叶子节点中samples=50意味着花瓣长度（petal length）小于2.45厘米的样本有50个。而value则代表当前节点中训练数据的分布，如深度为2的左侧绿色节点中[0, 49, 5]表示这个节点中，有0个setosa，49个versicolor和5个virginica，总共54个samples。
2.2 预测的依据
在示例的决策树中，还要一个重要的指标叫做Gini – 基尼系数，这个系数衡量当前节点的不纯净度（impurity），直观来说，当一个节点里的所有样本都属于同一类时，节点的纯净度最高，基尼系数为0。Gini的定义为
Gini
其中是在i个节点中k类的样本占总体样本的比例。比如示例中深度为2的右侧节点的Gini为。以最常用的Python机器学习库Scikit-Learn(v0.24.2)中的DecisionTreeClassifier[1]类为例，其在实现分类和回归树（Classification and Regression Tree, CART）时，在选择分裂节点的过程中，决策树选择分裂节点和阈值的依据即与Gini有关。其优化目标（损失函数）如下所示：
CART分类损失函数
其中分别为左侧和右侧节点的Gini，而分别为左侧和右侧节点的样本数量。CART算法会做贪心搜索（Greedy Search），从根节点开始分裂，并在层层子节点中搜索能够有效减少Gini的特征和阈值，直到分裂的层数到达最大深度（由max_depth参数定义）或已经找不到能够减少Gini的节点。直观来说，找到最好的树是一个NP-complete[2]问题，因此算法最终只会找到一个相对好的方案，而非最好的解决方案。
除了Gini之外，熵（Entropy）也可以用来衡量分裂节点的效果，用以衡量混乱度，在决策树的节点中，当一个节点里的样本都属于同一类时，熵的值为0。其定义如下：
熵（Entropy）
其中是在i个节点中k类的样本占总体样本的比例。比如示例中深度为2的右侧节点的熵为。在Scikit-Learn(v0.24.2)中使用DecisionTreeClassifier类时，可以通过设置criterion参数为entropy来使用熵作为衡量指标。但通常使用Gini和Entropy得出的树差别不大。主要的区别在于Gini计算更快，并且使用Gini会让树将样本更加集中地划分到节点里，而使用Entropy会让样本在树的分布更加均衡。
2.3 防止过拟合
决策树本身几乎没有假设，同时不依赖于特征缩放（Feature Scaling），但模型本身是需要加约束防止过拟合。可以通过控制模型参数达到正则化的目的。以Scikit-Learn(v0.24.2)中使用DecisionTreeClassifier类为例，下列参数常用于实施正则化防止过拟合：
- max_depth：树的最大深度，默认值是空，意味着树的最大深度不受限制。
- min_samples_split：分裂一个节点前所需的最小样本数，默认值为2。
- min_samples_leaf：一个叶子节点最少所需的样本数量，默认值为1。
- min_weight_fraction_leaf：默认值为0。当设置了class_weight后，样本权重不同，而该参数则约束叶子节点中权重占总体样本的比例，大意和min_samples_leaf类似，但用比例表示。
- max_feature：分裂节点时考虑的特征数量，默认为考虑所有特征。注意，决策树在找到一个有效的分裂节点前不会停止搜索，即便是搜索的特征数量已经超过了max_feature设定的值。
- max_leaf_nodes：叶子节点数量的上限，默认值为空。
- min_impurity_decrease：分裂一个节点所需减少的最低不纯净度，默认值为0。
通常，增加min_参数或者减少max_参数有助于决策树的正则化。
2.4 回归任务
在Scikit-Learn(v0.24.2)中可以使用DecisionTreeRegressor[3]类来执行回归任务。
回归树
此时预测值是叶子节点里样本目标值的均值。做回归任务时，CART算法实施方式和分类基本一致，只不过此时优化的目标是减少与目标值的均方差（Mean Squared Error, MSE）
回归树的损失函数
回归树模型参数基本与分类数模型参数一致，可以通过类似的办法防止模型过拟合。
2.5 其他重要属性
Scikit-Learn的实现中，决策树的feature_importances_属性能展示特征的重要性，其依据是各特征对于衡量指标的减少量，返回正态化后的值。如果特征中不同值的数量非常多（高数量类别属性，high cardinality features），推荐使用
sklearn.inspection.permutation_importance[4]。
如果要对树进行手动调整如改变分裂的阈值，可以使用sklearn.tree._tree.Tree[5]。
3 总结
决策树应对分类和回归问题有不错的表现，但也存在一些限制和弱点，如对于数据的方向性和波动较为敏感，这些问题一棵树难以完美解决，那多种几棵树是否有更好的表现呢？